Qu'est-ce qu'on peut entendre par un calcul de bruit ?

Il est important de connaître le niveau de bruit interne d'un circuit sensible pour différentes raisons.  La première est bien sûr que la performance du circuit sera limitée par ce niveau de bruit.  La deuxième est que si nous connaissons le niveau de bruit interne théorique, une mesure peut déterminer s'il y a d'autres sources de bruit que nous n'avons pas pris en compte (comme des perturbations).  Si ces sources non contrôlées sont présentes, cela peut représenter une vulnérabilité du produit, même si dans des conditions de labo, ce produit fonctionne correctement.  Ce manque de contrôle sur la qualité du produit peut être problématique et est à éviter. 

Mais qu'est-ce qu'on entend exactement par "connaître le niveau de bruit interne" ?  Idéalement cela voudrait dire que nous connaissons une description statistique complète de l'ensemble des processus statistiques qui décrivent le bruit sur chaque courant et chaque tension dans le circuit.   Seulement, la plupart du temps, nous nous contentons de deux éléments:

  1. l'écart-type du bruit sur la tension ou le courant à l'instant (appelé valeur RMS du bruit)
  2. la corrélation dans le temps du bruit de tension ou de courant entre le temps t1 et le temps t2.

C'est une description très limitée d'un ensemble mais pour le bruit interne, cela suffit la plupart du temps.  La valeur RMS nous donne une idée de l'erreur sur la valeur instantanée de la tension ou du courant, si cette tension ou ce courant représente une information.  La corrélation dans le temps est, comme nous allons voir, très intimement liée au spectre en fréquences du bruit, spectre qui sera transformé par des filtres linéaires.  En fait, la valeur RMS est incluse dans la corrélation comme cas spécifique: son carré est la corrélation dans le temps du bruit de courant ou de tension si les deux instants sont identiques.

La fonction de corrélation (du second ordre) dans le temps du bruit de courant ou de tension peut être calculé si

  1. nous pouvons modéliser toutes les contributions du bruit par des sources de courant ou de tension dans un circuit électrique linéaire, et si
  2. nous connaissons leurs fonctions de corrélation (du second ordre) dans le temps, ainsi que
  3. nous pouvons supposer ces sources statistiquement indépendantes (ou avec une corrélation donnée)

Cela est souvent le cas si le bruit est de faible amplitude et le comportement du circuit électrique peut être rapproché par un circuit linéarisé.  Les sources fondamentales de bruit, et la plupart des sources technologiques ont une description qui est basée sur la fonction de corrélation du second ordre.  Comme l'origine de ces sources sont une entropie thermodynamique locale, ou un phénomène quantique local dans un composant, ces sources sont bien sûr indépendantes s'il s'agit de sources dans des composants différents.   Il faut être plus prudent concernant l'indépendance si les sources sont à l'intérieur d'un même composant par contre.

Comme la seule description de la distribution statistique du bruit à un moment donné est la déviation standard (souvenons-nous que sa moyenne est toujours zéro par définition pour un bruit), le principe d'entropie maximale nous dicte qu'il faut considérer alors une distribution Gaussienne pour la valeur du bruit à un instant donné.  Le bruit fondamental, en plus, a réellement une distribution Gaussienne, même si nous menons une étude de la distribution plus détaillée.

La solution d'un circuit électrique pour le bruit peut être fait avec un logiciel standard comme toute variante de SPICE.  Donc en principe, un calcul de bruit se fait avec un simulateur de circuits.  Seulement, il y a parfois un hic: pour beaucoup de composants actifs, le modèle de bruit n'est pas correct !  Si le modèle de bruit n'est pas bon, alors bien sûr le résultat calculé par SPICE sera faux.  C'est pour cela qu'il est toujours important de faire un calcul simplifié à la main du bruit avant d'avoir confiance dans le résultat d'une simulation.  La raison pour laquelle beaucoup de modèles de simulation ne sont pas une description fidèle du bruit n'est pas que leurs auteurs seraient incompétents, mais plutôt que le but de ces modèles n'est pas un calcul de bruit, mais un calcul fonctionnel.  Ainsi, beaucoup de circuits ne sont pas modelés avec des composants physiques, mais contiennent des fonctions de transfert qui décrivent le comportement du composant suffisamment bien pour permettre une bonne simulation fonctionnelle.  Une fonction de transfert étant plus rapide à calculer que la simulation détaillée de chaque composant physique,  ces modèles permettent des simulations efficaces.  Mais une fonction de transfert équivalente ne donne aucune description du bruit.  Il faut donc être particulièrement prudent avec une simulation SPICE pour calculer le bruit si on utilise des modèles de simulation externes.  Entrop-x peut apporter son expertise.

Corrélation, valeur RMS et densité spectrale du bruit.

Considerez la tension d'un noeud dans un circuit en fonction du temps: V(t).  Par définition du bruit, V(t) est le résultat de la somme de deux contributions: la "moyenne" du signal attendu (le comportement idéal ainsi que toutes les erreurs systématiques), V0(t), et les fluctuations, le bruit, v(t).

V(t) = V0(t) + v(t)

v(t) est un processus stochastique, le bruit duquel nous cherchons la description statistique ; au moins, sa fonction de corrélation du deuxième ordre:

C(t1,t2) = 1/T ∫ v(t1 - t) v(t2 - t) dt   où T est un long temps sur lequel l'intégral est pris, et qui tend vers l'infini.

Une hypothèse faite à ce point est l'invariance dans le temps.   C'est à dire, si nous décalons le temps par un temps arbitraire s, les propriétés statistiques ne changent pas:

C(t1,t2) = C(t1 - s,t2 - s)

La fonction de corrélation ne dépend donc que de la différence de t1 et de t2. La fonction de corrélation n'est donc rien d'autre que la moyenne (sur l'ensemble, ou sur le temps, ce qui est supposé la même chose) de la valeur du bruit à un certain instant, et la valeur du bruit, un temps s plus tard.

C(s) = 1/T ∫ v(s + t) v(t) dt

Le cas spécifique (vRMS)2 = C(0) = 1/T ∫  (v(t))2 dt n'est rien d'autre que l'espérance du carré local de la valeur du bruit: la valeur RMS au carré.

Le théorème de Wiener_Khinchin nous donne la relation entre la fonction de corrélation C et la densité spectrale de puissance:

S(f) = ∫ C(t) e-i 2 π f t dt

La densité spectrale de puissance S(f) et la fonction de corrélation C(t) sont simplement une paire de Fourier (avec la normalisation donnée par la formule).

La relation avec la valeur RMS s'en suit:

  (vRMS)2 = C(0) = ∫ S(f) df

La raison fondamentale pourquoi on préfère la densité spectrale est la propriété suivante:

Si un signal de bruit (tension ou courant, cela n'a pas d'importance, mais nous prenons des tensions dans ce qui suit) v1(t) avec une densité spectrale S1(f) est appliqué à l'entré d'un système linéaire avec une fonction de transfert H(ω),alors la sortie du système, v2(t) aura une densité spectrale (de puissance) de:

S2(f) = | H(2π f) |2 S1(f)

C'est cette propriété qui nous permet de propager une source de bruit à travers un circuit linéaire.

Il nous faut encore une autre propriété: si deux sources statistiquement indépendantes résultent en deux contributions de bruit v1(t) et v2(t) sur le même signal (disons la tension d'un noeud du circuit) en utilisant le principe de superposition, alors la densité spectrale du bruit composé sera:

S(f) = S1(f) + S2(f)

Les calculs de bruit de circuits linéaires (ou linéarisés) sont basés sur ces deux propriétés. chaque source est considéré de façon indépendante et individuelle dans le circuit, et son effet sur les courants et tensions ailleurs dans le circuit est déterminé en utilisant la fonction de transfert (fonction de transfert, de trans-impédance ou trans-conductance).  Ensuite, les densités spectrales de toutes ces contributions indépendantes sont additionnés ensemble.   Cela nous donne la densité spectrale du bruit de chaque courant et de chaque tension dans le circuit.

Il faut faire attention à une chose: on ne peut pas prendre ces bruits de tension et de courant comme des sources indépendantes dans un calcul suivant.  Effectivement, ils contiennent tous des contributions des mêmes sources et ils sont donc corrélés.  Cette difficulté se présente si nous avons des sous-circuits dont nous avons déjà calculé le bruit et que considérons ces bruits comme des sources de bruits équivalentes: ces sources équivalentes sont corrélés.  Il est toujours possible de faire les calculs, mais il faudrait alors utiliser leur corrélation pour composer les densités spectrales au lieu de simplement faire leur somme.

Unités

La densité spectrale d'un bruit de tension a comme unité : V2 s  ou V2 / Hz

La densité spectrale d'un bruit de courant a comme unité: A2 s  or  A2 / Hz

La fonction de corrélation temporaire de deuxième ordre d'un bruit de tension a comme unité: V2

La fonction de corrélation temporaire de deuxième ordre d'un bruit de courant a comme unité: A2

Finalement, la valeur RMS d'un bruit de tension a comme unité: V ; la valeur RMS d'un bruit de courant a comme unité: A

Dans certains cas, on préfère de travailler avec la racine carré de S(f).  Dans ce cas, les unités des densités spectrales sont V sur la racine de Hz, et A sur la racine de Hz.

Les sources de bruit fondamentales

Les deux sources fondamentales de bruit sont le bruit thermique (Johnson) d'une résistance, et le bruit de grenaille qui est un effet quantique.  Ces deux sources sont des sources de bruit blanc, c'est à dire que leur densité spectrale est une constante, indépendante de la fréquence.  Ainsi, leur expression qui décrit S(f), ne contient pas f.

Le bruit de tension en série avec n'importe quelle résistance à la température absolue T a une densité spectrale de:   SR(f) = 4 kB T R ; où kB est la constante de Boltzmann.

Cela peut être modélisé aussi par une source de bruit de courant en parallèle avec la résistance ; la densité spectrale de cette source est alors:  SR(f) = 4 kB T / R (cette fois, SR(f) est la densité spectrale d'un bruit de courant).

Le bruit de grenaille se représente comme une source de bruit de courant en parallèle à la jonction PN par laquelle il coule un courant continu IDC.  Ce bruit de courant a une densité spectrale: SS(f) = 2 q IDC, où q est la charge élémentaire de l'électron de 1.6 10-19 C.

Il faut noter que ces sources de bruit fondamentales ne dépendent pas de paramètres technologiques, ce qui les rend universel et facilement calculables.  Quand le bruit d'un circuit est dominé par des sources de bruit fondamentales, alors la technologie n'est pas une limite pour la performance du circuit.  S'il faut faire mieux, alors seulement une nouvelle idée de conception de circuit  peut améliorer la situation ; aucune avancée technologique peut nous aider.  Si la limite d'un circuit des années 1950 était due à des sources fondamentales, alors cette limite est toujours de vigueur aujourd'hui et aucun progrès technologique y fera la moindre amélioration.

Sources de bruit technologiques

Les sources de bruit technologiques doivent être modélisés en accord avec des données du fabricant ou des mesures sur le composant: il n'y a pas d'autre façon de les estimer à partir de principes de base.  Beaucoup de bruits technologiques ont une densité spectrale qui varie avec la fréquence et beaucoup d'entre eux augmentent vers les basses fréquences.  Un comportement approximatif de S(f) en 1/f est souvent observé.

Bruit réduit à l'entrée

Quand on considère un circuit électronique linéaire (ou linéarisé) avec un signal d'entrée et un signal de sortie, il peut être intéressant de regarder quelle serait la source de bruit, ajoutée à l'entrée, qui produirait le même bruit à la sortie que le résultat de toutes les sources internes de bruit dans le circuit.  En d'autres termes, le bruit, réduit à l'entrée est ce bruit qui, appliqué à l'entrée d'un circuit sans sources de bruit interne mais avec la même fonction de transfert, produirait le même bruit de sortie que le vrai circuit sans signal d'entrée.

Si So(f) est l'actuelle densité spectrale du bruit à la sortie, et H(ω) est la fonction de transfert de l'entrée à la sortie, alors le bruit réduit à l'entrée Si(f) est:

Si(f) = So(f) / | H(2π f) |2

Le bruit réduit à l'entrée nous montre en quelle mesure le circuit "pollue" le signal d'entrée.  C'est l'information réellement détruite de l'entrée.  Par exemple, si un amplificateur A qui a un gain de 10 fois supérieur à un amplificateur B, a aussi une densité spectrale de bruit à la sortie, 30 fois supérieure à celle de l'amplificateur B, l'amplificateur A pollue le signal d'entrée en fait moins que l'amplificateur B.  Effectivement, le même bruit à l'entrée provoquerait une densité spectrale 100 fois plus grande à la sortie de A que de B.  Il y a plus d'information du signal d'entrée à la sortie de A que de B.